Авторский опыт преподавания.

ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ К ОБУЧЕНИЮ В ШКОЛЕ И НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ ШКОЛЫ

Введение. 1

Описание операций по разделам: 2

Упражнения и задачи по разделам.. 3

Занимательная математика. 3

Арифметика. 3

Алгебра. 5

Логика. 5

Алгоритмы. 5

Методы решения. 6

Геометрия. 6

ПРИМЕЧАНИЯ. 6

 

Введение

Обоснование программы. В основном в школе развивается способность к сознательной концентрации внимания, в особенности на объектах, существующих только в воображении и мышлении.

В мышлении можно выделить наблюдение, сравнение, оценку и упорядочение, суждение. В суждении можно выделить индукцию, дедукцию и вывод из посылок.

Мышление развивается при столкновении с проблемой в деятельности и направлено на ее решение. Организуя деятельность с определенным материалом можно направленно стимулировать развитие мышление.

Соответственно этому, на примерах из различных учебных материалов, входящих в обычную школьную программу, организуется учебная деятельность, при которой знания оказываются, не привносимыми извне, а решением проблем, возникающих в самой этой деятельности.

 

В процессе обучения в школе детям будут даваться задачи, подготовка к которым начинается с 4-х лет в виде подготовительных упражнений и задач. Задачи и методология взяты из книги Козловой Е.Г. «Сказки и подсказки». Также использована книга А.Я. Канель-Белова и А.К. Ковальджи «Решение нестандартных задач».

Задачи делятся на разделы: Занимательная математика, Арифметика, Алгебра, Логика, Алгоритмы, Методы решения, Геометрия. Подготовка делится на такие же разделы.

Идеи развития основных познавательных способностей взяты из книги «New education for a new consciousness».

Благодарность за обсуждение и советы создателям сайта Fornit и участникам Форума

 

 

Замечание.

Работа над программой еще не закончена. Помощь и советы в этой работе были бы очень полезны.

Нейрофизиологические и психологические обоснования предлагаемых упражнений и задач особенно нуждаются в корректировке, поскольку их необходимость была выявлена в основном на практике.

 

 

Общая схема подготовительных упражнений: наблюдение объектов и их взаимоотношений в процессе операций с объектами. Объекты познаются через отношения между ними и действующим субъектом. Операции направлены на достижение цели, которая задается поставленной задачей.

Направленность операций на получение заранее сформулированного результата, отличает подготовительные упражнения к учебе от игровых манипуляций, непосредственной целью которых является удовольствие. В подготовительных упражнениях к учебе происходит наработка навыков действий с материальными объектами, направленных на достижение результатов, сформулированных с помощью слов, рисунков и других символов, и не имеющих непосредственного биологического значения.

 

Описание операций по разделам:

Занимательная математика.

 

Арифметика.

Календарь, время, возраст.

 

Цифры.

Операции к теме Цифры (О необходимости см. Пр. 1).

Операции выполняются над множествами однородных предметов камешек, палочек и т.п. без использования счета (см. Примечание 2): операции объединения, пересечения и дополнения множества в другом множестве; операции выбора заданного числа предметов из множества; сравнение количеств элементов множеств путем попарного их сопоставления; разбиения множеств на заданное число равновеликих частей; разбиение множеств на части, содержащие заданное число элементов и другие операции.

 

Операции к теме Дроби.

Операции те же, что и в теме Цифры.

Последовательность введения понятия Дроби (для младших возрастов).

Используя количества до 5, которые дети знают, производятся операции, описанные в теме Цифры, над множествами однородных объектов.

На самом деле эти операции никак не используют конкретные количества, поэтому набрав достаточный опыт применения этих операций к первым пяти числам, дети будут иметь базис для освоения чисел и отношений между ними без ограничений.

При таком введение операций от преподавателя требуется точное следование логике, чему могут помешать его знания и кажущаяся ему поэтому легкость понимания.

 

Алгебра.

Описание операций.

Должны быть операции и задачи на понятие символического мышления.

Эти задачи могут быть даны на материале речи, как обозначении словами, имен людей и наименовании предметов и т.п.

 

Логика.

Описание операций.

Должны быть операции и задачи на понятие символического мышления.

Эти задачи могут быть даны на материале речи, как обозначении словами, имен людей и наименовании предметов и т.п.

 

Алгоритмы.

Описание операций.

 

Методы решения.

Описание операций.

Тут надо развивать способность анализировать найденные решения и сравнивать их с другими. См. Канель-Белов.

 

Геометрия.

Операции с фигурами.

Для операций с фигурами могут использоваться, как естественные предметы – камешки, палочки и т.п., так и изготовленные фигуры: плоские - изготовленные из набора пластиковых палочек со штифтами на концах для их соединения и вращения; плоские и объемные, изготовленные из пластилиновых шариков и воткнутых в них спичек и т.п. Важно, чтобы преобразования фигур могли выполняться по шагам, и в процессе выполнения следующего шага предыдущий шаг был также доступен для восприятия. Это условие не выполняется, например, при лепке.

 

Во многих темах используются методы работы с множествами предметов без использования счета.

 

Упражнения и задачи по разделам.

Обозначение задач (Козлова (К.№), Канель-Белов (Б.№), дополнительные задачи-просто номер)

 

Занимательная математика.

Последовательность введения понятий, сопровождаемых действиями с предметами.

- каждому ученику выдается множество предметов, например, камешков.

- формулируются задачи и предлагается их решить.

  Если кто-то решил, пусть объяснит другим.

  Если нет, учитель наводит на решение.

 

Имеет смысл начать урок с несложных задач на внимание: К1, К2, К3, К10,  К57, К59, К129, К215,

 

Задачи к теме “Задачи на внимание”: К2, К3, К9, К10, К44, К57, К59, К129, К192, К196, К207, К215, К228, К231, К240, К247, К256, К311, К340.

Задачи к теме “Календарь, время, возраст”: К47, К57, К200, К218, К308, К341.

Задачи к теме “Шарады, шифры”: К5, 36, К56, К148, К181, К184, К201, К202, К219, К268.

Задачи к теме “Домино”: К167, К168, К330.

Задачи к теме “Задачи со спичками”: К124, К125, К134, К161, К253, К316.

 

 

Арифметика.

Несложные задачи на продолжение последовательностей: К32, К33, К34, К58,

 

Задачи к теме “Календарь,время,возраст”: К281, .

 

Цифры.

Упражнения 3, Часть 1, к теме “Цифры (см. Примечание 3 о необходимости)

Задачи к теме “Цифры”: К24, К25, К26, К27, К43, К49, К60, К115, К116, К117, К118, К119, К120, К121, К122,К127, К130, К149, К156, К165, К194, К210, К211, К257, К297, К322, К338, К344.

 

Количества и Числа, как обозначения Количеств.

Мерки и Измерения.

Методы работы с множествами без использования счета.

Сравнение количеств методом сопоставления элементов множеств.

Задачи 4, 5, .

Задание количества элементов множества другим множеством.

Задача 6.

Разбиение количеств на части.

Восстановление количества по его части и количеству частей.

Сравнение этих двух взаимно-обратных операций.

Задачи 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, К47, К281,

 

Части и Дроби, как обозначения частей.

Упражнения и задачи к теме “Дроби”.

Простые задачи к теме “Дроби” с которых можно начат урок на эту тему:

20, 21, 22, 23, 24, 30, К38, К178, К179.

Упражнение  10,

 

Задачи К142, К44, 11, К143 (Для тех, кто уже знает проценты).

 

Метод последовательных приближений для поиска решений задач.

Необходимость см. Примечание 2.

Упражнение 1.

Задача 12. Дать решение задачи методом последовательных приближений.

 

Разбиение на части:

Задачи К2, К3. Дать решение задач методом последовательных приближений.

 

Объединение частей из различных разбиений одного множества.

Задачи 15, 16.

 

Задачи к теме “Дроби”: К51, 178, 198, 251, 264, 283, 333, 346.

 

Тема Мерка и Размер.

Задачи  17,  18, 19.

 

Целые числа

Упражнения и задачи к теме “Целые числа“.

Упражнения 3 к теме “Цифры (см. Примечание 3 о необходимости)

 

Простые задачи к теме «Целые числа» для разогрева:

(четность-нечетность) К62, К63, К64, К65, (числовая комбинаторика) К44, К48, К102, К103,

 

Задачи к теме “Целые числа”: К48, К103, К153, К159, К169, К170, К191, К239, К241, К266, К278, К291, К325.

Задачи к теме “Интервалы”: К46, К175, К176, К203, К221, К225, К242, К298.

Задачи к теме “Среднее арифметическое”: К107, К135, К224, К250, К295.

Задачи к теме “Проценты”: К143, К146, К213, К226, К347.

 

Алгебра.

Упражнения к теме “алгебра.

Демонстрация алгебраических тождеств на площадях прямоугольников.

Необходимость см. Примечание 5:

10-(а+в)=10-а-в=10-в-а

10хА-10ха=10х(А-а)

АхВ=10х(А-(10-В))+(10-А)х(10-В)

(10-а)х(10-в)=10х((10-а)-в)+ахв

 

Задачи к теме “с алгеброй и без нее”: К8, К29, К90, К92, К104, К111, К126, К128, К131, К157, К162, К164,166, К193, К205, К212, К214, К216, К220, К244, К262, К271, К273, К276, К280, К284, К289, К296,304, К313, К317, К319, К324, К332.

 

Задачи к теме “Комбинаторика”: К14, К38, К40, К261, К267, К274, К336, К337, К348.

Задачи к теме “Неравенства,сравнения”: К52, К53, К54, К55, К88, К142, К182, К234, К236, К237, К254,323, К343.

 

 

Логика.

Упражнение 9 к теме “Логика.

 

Задачи к теме “Закономерности”: К32, К33, К34, К39, К58, К61, К72, К114, К229, К259, К286.

Задачи к теме “Логические задачи”: К6, К76, К93, К98, К100, К109, К112, К133, К171, К209, К230, К232, К233, К235, К245, К252, К258, К272, К277, К288, К290, К294, К299, К301, К302, К305, К334, К339, К349.

Задачи к теме “Парадоксы”: К37, К101, К123, К158, К180, К260.

 

Алгоритмы.

Задачи к теме “Турниры”: К185, К186, К187.

Задачи к теме “Обратный счет”: К4, К265, К331.

 

Упражнения к теме “стратегии.

Упражнения 7 на стратегию движения.

В случае затруднений с решением следующих задач, выполнить на практике.

Задачи: К11, К196, КК197, К192, К198, .

 

Упражнения 8 на взвешивание.

Задачи:  К80, К К81, К82,

 

Задачи к теме “Стратегии”: К11, К31, К42, К50, К69, К71, К77, К86, К91, К99, К105, К106, К132, К177, К188, К189, К195, К197, К199, К204, К208, К243, К285.

 

Задачи к теме “Взвешивания”: К80, К81, К82, К136, К227, К269, К270.

- Выполнение действий и их кодирование.

- Кодирование информации.

 

 

Методы решения

Задачи к теме “Принцип Дирихле”: К140, К150, К246, К248, К282.

 

Простые задачи на делимость чисел, с которых имеет смысл начать урок на эту тему:

К66, К67, К68,

 

Задачи к теме “Делимость чисел, простые числа”: К95, К97, К137, К138, К139, К141, К144, К147,155, К160, К172, К173, К190, К217, К222, К223, К249, К263, К287, К292, К293, К306, К307, К309,310, К312, К314, К315, К318, К320, К321, К326, К335, К342, К350.

 

Упражнения к теме “Четность-нечетность (для младших возрастов).

Упражнение 13, 

 

Задачи к теме “Четность-нечетность (для младших возрастов)”: 25,

 

Задачи к теме “Четность-нечетность, черное-белое”: К62, К63, К64, К65, К66, К67, К68, К70, К74,75, К79, К83, К87, К89, К94, К96, К102, К103, К110, К145, К255, К279.

 

Геометрия.

Упражнения 12 (для младших возрастов, а может быть и старше),

дается в начале урока для развития и активизации перцептивной

основы понятий о различных пространствах, их частях и границах,

понятиях о внутри, снаружи и на границе, и соотношениях фигур.

Упражнения 4,  5.

Упражнения 6.

 

Задачи 26, К7, К45, К41

Следующие задачи, в случае затруднений с решением, можно выполнять на практике.

Задачи 28, 29, 27, К46  

 

Задачи к теме “Промежутки”: К1, К12, К13, К14, К15, К18, К23, К174, К206.

Задачи к теме “Простейшая геометрия”: Б.2(другое решение), К7, К16, К17, К19, К20, К21, К22, К30, К35, К73, К151, К152, К163, К183, К275, К303, К328, К345.

Задачи к теме “Размерности”: К41, К45, К179.

 

Задачи на понятия внутри, снаружи, на границе:

на линии: Задачи: (К1, К12, К13, К14, К15, К18, К22, К174, К206);

на плоскости: Задачи: (К7, К16, К17, К19, К20, К21, );

в пространстве: Задачи: (К19-К22).

- Геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному условию.

- Преобразования фигур друг в друга.

 

 

 

ПРИМЕЧАНИЯ

Примечание 1.

Необходимость отработки связи позиционного представления чисел с разбиением множества на части выяснилась в следующем упражнении. Ученикам возраста 11-13 лет и младше было предложено разобрать кучу камешков на кучки по 10 камней. После этого их попросили назвать число, выражающее количество камней в исходной куче, не пересчитывая камешки заново. Несмотря на то, что число, выражающее это количество, находилось перед их глазами, они смогли назвать его только после подсказки.

Отработка этой связи вполне может быть сделана и в более раннем возрасте (см. Упражнение 2), что в дальнейшем позволит избежать многих ненужных трудностей и сохранить интерес к материалу изучения.

 

Также замечено, что наибольшее внимание детей привлекают естественные предметы – галька, палочки и т.п. Похоже, что эти предметы имеют в глазах детей индивидуальность, и как ни странно, именно это облегчает переход к восприятию этих предметов, как однородных элементов множества. Поэтому при отработке вышеупомянутых автоматизмов, пока умственный образ количеств еще не сформировался твердо, лучше использовать такие предметы.

 

Примечание 2.

Как отмечено в книге Е.Г. Козловой «Сказки и подсказки», ознакомление с методами составления уравнений позволяет ученику быстро свести решение задачи к автоматическим алгебраическим манипуляциям без понимания сути задачи. Однако при этом, как отмечено в Примечании 1, ученик лишается возможности отработать связь восприятия символов или предметов с их представлениями, соответственно, лишается возможности и отработать навыки работы с умственными образами, стоящими за представлениями.

Поэтому желательно дать методы решения задач, использующие различные манипуляции с аналогами представлений, используемых в задачах: геометрические, алгоритмические и другие, не только алгебраические.

 

Примечание 3.

Оказывается, что даже для детей старших возрастов факт, что любая последовательность цифр является целым числом и наоборот является открытием. Также они видят проблему в предложении записать произвольную последовательность цифр.

 

Примечание 4.

Для многих простых и сложных задач центральным моментом является соображение, что точка, находящаяся внутри замкнутой кривой, разбитой на части, обязательно попадет в одну из этих частей.

Как ни странно, многие старшие школьники не могут схватить этого, даже после подсказки.

Младшие должны схватить это быстро и развить из этого ценные идеи.

 

Примечание 5.

Обычно дети любят считать в уме, а способные дети готовы просто сломать голову. Но они используют только те простые приемы, которыми их научили в школе, в основном, сложение и умножение в столбик и заученную наизусть таблицу умножения.

В то же время существуют методы устного счета, использующие простые преобразования алгебраических выражений, учитывающих позиционную запись чисел и в результате приводящие к поразительно простым вычислениям громадных чисел.

Такие методы были разработаны индийскими математиками тысячи лет назад, в основном, для астрономических расчетов. Эти методы изложены в книгах и статьях, посвященных Vedic Mathematics.

Самые простые, но не уменьшающие общности, применения этих методов приводят к тому, что отпадает необходимость в заучивании таблицы умножения. Результаты умножения целых чисел, меньших 10 моментально получаются из сложения и умножения целых чисел, меньших 5.

Вычисления производятся по следующему правилу:

 

А             -              а

В             -              в

------------------------

А – в      |             а х в

 

Здесь а, в – это дополнения чисел А, В до 10.

А – в дает первую цифру в десятичной записи произведения А х В, а х в дает вторую цифру в десятичном представлении произведения А х В.

Если а х в оказывается больше 10, то избыток над 10 прибавляется к единицам А – в.

 

Это правило может быть применено и к числам, большим 10. Если эти числа близки к 100, в предыдущих вычислениях 10 должно быть заменено на 100.

 

Вычисления основаны на простом тождестве: (10 - а) * (10 - в) = 10 * (10 – а - в) + а х в.

Разность 10 – а – в дает первую цифру в десятичной записи произведения, а х в дает вторую цифру в десятичной записи произведения.

 

Примеры: 6х7=10х(6-3)+12, 7х8=10х(7-2)+6, 5х6=10х(5-4)+20 и т.д.

 

Не вызывает сомнения, что дети с восторгом примут столь эффективный метод, но возможность его обоснования появится у них нескоро. Это чревато еще одним автоматическим заучиванием применения правил, поэтому имеет смысл дать детям понять тождество, лежащее в основе таких вычислений в геометрической форме.

 

Юрий Скоморовский

В дополнение: О книге Пойя Как решать задачу.

 

От Автора: Когда я готовил и писал первый материал, я только догадывался, что во взаимодействии учителя с учениками возможно выделить какие-то общие приемы, позволяющие развивать у ученика умение организовать свою умственную деятельность подобно предметной деятельности, чему он обучается в "естественных" услових в общении с окружающими.
Соответственно, тогда передо мной могла быть только задача накапливать опыт в конкретных условиях: конкретных задачах в конкретных ситуациях с конкретными учениками.
Когда я обнаружил, что в книге Пойа эти общие методы выделены, моя задача будет набирать опыт в их видоизменении и применении в конкретных ситуацих.

Обсуждение может помочь этому и развить сами методы.

Дополнительно:
Сопоставление двух методов обучения